Question

14．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对?x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）；当x∈（1，2]时，f（x）=2-x，给出如下结论：①对?m∈Z，有f（2^m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；      
③存在n∈Z，使得f（2ⁿ+1）=9；
④函数f（x）在区间（a，b）单调递减的充分条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^k+1），
其中所有正确结论的序号是：①②④．（请将所有正确命题的序号填上）

Answer 1

分析 ①先令x=2，得到f（2）=0，再根据f（2x）=2f（x）得出结论；
②利用单调性证明定义域上的最小值是0即可；
③利用反证法，判断满足条件的n不存在，得出命题错误；
④根据题意得出f（x）在区间（a，b）上单调递减的充分条件是什么．

解答 解：对于①，令x=2，得f（2）=2-2=0，
当m∈Z时，f（2^m）=2f（2^m-1）=2²f（2^m-2）=…=2^m-1f（2）=0，∴①正确；
对于②，∵x∈（1，2]时，f（x）=2-x，∴?x∈（1，2]，f（x）≥f（2）=0，
又∵?x∈（0，+∞），f（2x）=2f（x），∴?x∈（0，+∞），f（x）≥f（2）=0，∴②正确；
对于③，∵f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1，假设存在n使f（2ⁿ+1）=9，即存在x₁，x₂，${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$=10，
又2^x变化如下：2，4，8，16，32，显然不存在满足条件的值，∴③错误；
对于④，根据②知，当x⊆（2^k，2^k+1）时，f（x）=2^k+1-x为减函数，
∴函数f（x）在区间（a，b）上单调递减的充分条件是“存在k∈Z，
使得（a，b）⊆（2^k，2^k+1），④正确．
综上，正确的命题是①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了抽象函数及其应用问题，考查了利用赋值法证明等式的问题，此类题的特征是根据题中所给的相关性质灵活赋值以达到求值或者证明命题的目的，是综合性题目．