Question

17．已知函数f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，若$\sqrt{3}$（b²+c²-a²）=4S，求f（A）．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），由周期公式可得；
（2）由余弦定理和面积公式易得A的方程，可得A值，代入计算可得f（A）．

解答 解：（1）化简可得f（x）=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$•2sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2cos²x-1）
=$\frac{1}{2}$•sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵$\sqrt{3}$（b²+c²-a²）=4S，
∴$\sqrt{3}$（b²+c²-a²）=4×$\frac{1}{2}$bcsinA，
又由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²-a²=2bccosA，
∴2$\sqrt{3}$bccosA=2bcsinA，
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\sqrt{3}$，∴A=$\frac{π}{3}$，
∴f（A）=sin（2×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=0．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．