Question

6．（Ⅰ）求证：不等式lnx≤k$\sqrt{x-1}$对k≥1恒成立．
（Ⅱ）设数列{a_n}的通项公式为a_n=$\sqrt{\frac{2}{2n-1}}$，前n项和为S_n，求证：S_n≥ln（2n+1）

Answer 1

分析 （Ⅰ）构造函数，换元，确定f（x）在[1，+∞）上单调递减，即可证明：不等式lnx≤k$\sqrt{x-1}$对k≥1恒成立．
（Ⅱ）k=1由（Ⅰ）知，$lnx≤\sqrt{x-1}$对x≥1恒成立，放缩，裂项即可证明结论．

解答 证明：（Ⅰ）令f（x）=lnx-k$\sqrt{x-1}$，则f′（x）=$\frac{2\sqrt{x-1}-kx}{2x\sqrt{x-1}}$…（1分）
令$\sqrt{x-1}=t，t≥0，x={t^2}+1$
则$2\sqrt{x-1}-kx=2t-k（{{t^2}+1}）$
当k≥1时，2t-k（t²+1）≤2t-2kt=2t（1-k）≤0
即f'（x）≤0，f（x）在[1，+∞）上单调递减，⇒f（x）≤f（1）=0，即原不等式恒成立…（6分）
（Ⅱ）k=1由（Ⅰ）知，$lnx≤\sqrt{x-1}$对x≥1恒成立．
于是${a_n}=\sqrt{\frac{2}{2n-1}}=\sqrt{\frac{2n+1}{2n-1}-1}≥ln\frac{2n+1}{2n-1}≥ln（{2n+1}）-ln（{2n-1}）$…（10分）
所以S_n=a₁+a₂+…+a_n≥ln3-ln1+ln5-ln3+…+ln（2n+1）-ln（2n-1）=ln（2n+1）…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．