Question

14．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n=$\frac{2（2n-1）}{n}$a_n-1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：a₁+a₂+…+a_n≤$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）

Answer 1

分析 （1）a_n=$\frac{2（2n-1）}{n}$a_n-1（n≥2），利用a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$，即可得出；
（2）由于a_n=2ⁿ×$\frac{（2n-1）!!}{n!}$=2²ⁿ×$\frac{（2n-1）!!}{（2n）!}$，2n-1＜2n，…，1＜2，可得a_n＜2×4^n-1．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）解：∵a_n=$\frac{2（2n-1）}{n}$a_n-1（n≥2），
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$=$（2×\frac{2n-1}{n}）$×$（2×\frac{2n-3}{n-1}）$×…×$（2×\frac{3}{2}）$×2=2ⁿ×$\frac{（2n-1）!!}{n!}$．
∴a_n=2ⁿ×$\frac{（2n-1）!!}{n!}$．当n=1时也成立．
∴a_n=2ⁿ×$\frac{（2n-1）!!}{n!}$．
（2）证明：∵a_n=2ⁿ×$\frac{（2n-1）!!}{n!}$=2²ⁿ×$\frac{（2n-1）!!}{（2n）!}$，2n-1＜2n，…，1＜2，
∴a_n＜2×4^n-1．
∴当n≥2时，a₁+a₂+…+a_n＜2+8+…+2×4^n-1=$\frac{2（{4}^{n}-1）}{4-1}$=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1），当n=1时，a₁=2=$\frac{2}{3}×（4-1）$．
∴a₁+a₂+…+a_n≤$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式、“累乘求积”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．