Question

12．在数列{a_n}中a₁=1，n≥2时S_n²-a_nS_n+2a_n=0．
（1）求{a_n}通项公式；
（2）b_n=2ⁿ-1记{$\frac{1}{{S}_{n}{b}_{n}}$}前n项和为T_n．求证：T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）由S_n²-a_nS_n+2a_n=0由推出数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列，进而求出S_n，再求出a_n；
（2）通过放缩法、用裂项求和法求出数列{$\frac{1}{{2}^{n-1}}$•$\frac{n+1}{2}$}的前n项和为Q_n，不等式得证．

解答 （1）解：由S₁=a₁=1，S_n²-a_nS_n+2a_n=0，
可知：（1+a₂）²-a₂（1+a₂）+2a₂=0，
解得：a₂=-$\frac{1}{3}$，S₂=$\frac{2}{3}$，
∵S_n²-a_nS_n+2a_n=0，
∴S_n²-（S_n-S_n-1）S_n+2（S_n-S_n-1）=0，
∴S_n-1S_n+2S_n-2S_n-1=0，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
则数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，∴S_n=$\frac{2}{n+1}$，
则当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2}{n+1}$-$\frac{2}{n}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$；
则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{-\frac{2}{n（n+1）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）证明：∵b_n=2ⁿ-1≥2^n-1，S_n=$\frac{2}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}{b}_{n}}$≤$\frac{1}{{2}^{n-1}}$•$\frac{n+1}{2}$，
记数列{$\frac{1}{{2}^{n-1}}$•$\frac{n+1}{2}$}的前n项和为Q_n，
则Q_n=$\frac{1}{{2}^{1-1}}$×1+$\frac{1}{{2}^{2-1}}$×$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{{2}^{3-1}}$×2+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$×$\frac{n+1}{2}$，
2Q_n=2×1+$\frac{1}{{2}^{1-1}}$×$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2-1}}$×2+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$×$\frac{n+1}{2}$，
两式相减，得：Q_n=2+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{1-1}}$+$\frac{1}{{2}^{2-1}}$+$\frac{1}{{2}^{3-1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$）-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$×$\frac{n+1}{2}$
=2+$\frac{1}{2}×$$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$
=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$＜3，
∴T_n≤Q_n＜3．

点评 本题考查了数列通项公式的求法，同时考查了裂项求和法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．