Question

2．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}sin（x+\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）+2{cos^2}（x-\frac{π}{4}）-1$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设a，b，c是△ABC中角A，B，C所对的边，已知f（A）=$\sqrt{3}$，2acosB=c，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求边a的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），由周期公式即可得解；
（Ⅱ）由f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，结合范围0＜A＜π，解得A，由2acosB=c，利用正弦定理可得sin（A-B）=0，可得A=B=$\frac{π}{6}$，由2acosB=c，可得c=$\sqrt{3}a$①，由S_△ABC=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{4}$ac，可得ac=4$\sqrt{3}$②，①②联立即可解得a的值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2$\sqrt{3}sin（x+\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）+2{cos^2}（x-\frac{π}{4}）-1$
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）+1+cos（2x-$\frac{π}{2}$）-1
=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，即sin（2A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，即$\frac{π}{3}$＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{7π}{3}$，
∴2A+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，解得：A=$\frac{π}{6}$，
∵2acosB=c，由正弦定理可得：2sinAcosB=cosB=sinC=sin（A+B），
展开化简，得sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
∴sin（A-B）=0，
∴由A，B为三角形内角，可得A=B=$\frac{π}{6}$，
∴由2acosB=c，可得c=$\sqrt{3}a$①，
∵S_△ABC=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{4}$ac，可得ac=4$\sqrt{3}$②，
∴由①②可得：a=2．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．