Question

13．△ABC的边BC、CA、AB的中点分别为A₁、B₁、C₁．任取一点O，OA、OB、OC的中点分别为A₂、B₂、C₂，A₁A₂，B₁B₂，C₁C₂的中点分别为P、Q、R，且设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$分别表示$\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{OQ}$、$\overrightarrow{OR}$，并判断P、Q、R三点的位置关系．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{O{A}_{1}}$+$\overrightarrow{O{A}_{2}}$）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$（b+c）+$\frac{1}{2}$a]=$\frac{1}{4}$（a+b+c），$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{O{B}_{1}}$+$\overrightarrow{O{B}_{2}}$）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$（a+c）+$\frac{1}{2}$b]=$\frac{1}{4}$（a+b+c），$\overrightarrow{OR}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{O{C}_{1}}$+$\overrightarrow{O{C}_{2}}$）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$（a+b）+$\frac{1}{2}$c]=$\frac{1}{4}$（a+b+c），即可得出结论．

解答 解：如图，$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{2}$（b+c）．
同理，$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{2}$（a+c），
$\overrightarrow{O{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{1}{2}$（a+b），
$\overrightarrow{O{A}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$a，
$\overrightarrow{O{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$b，
$\overrightarrow{O{C}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$c，
$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{O{A}_{1}}$+$\overrightarrow{O{A}_{2}}$）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$（b+c）+$\frac{1}{2}$a]=$\frac{1}{4}$（a+b+c），
$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{O{B}_{1}}$+$\overrightarrow{O{B}_{2}}$）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$（a+c）+$\frac{1}{2}$b]=$\frac{1}{4}$（a+b+c），
$\overrightarrow{OR}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{O{C}_{1}}$+$\overrightarrow{O{C}_{2}}$）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$（a+b）+$\frac{1}{2}$c]=$\frac{1}{4}$（a+b+c），
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OR}$．
∴P、Q、R三点重合，即A₁A₂、B₁B₂、C₁C₂相交于一点．

点评 本题考查向量在几何中的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确表示向量是关键．