Question

某医院将一专家门诊已诊的1000例病人的病情及诊断所用时间（单位：分钟）进行了统计，如下表．若视频率为概率，请用有关知识解决下列问题．

病症及代号	普通病症A1	复诊病症A2	常见病症A3	疑难病症A4	特殊病症A5
人数	100	300	200	300	100
每人就诊时间 （单位：分钟）	3	4	5	6	7

（1）用ξ表示某病人诊断所需时间，求ξ的数学期望．并以此估计专家一上午（按3小时计算）可诊断多少人；
（2）某病人按序号排在第三号就诊，设他等待的时间为ξ，求P（ξ≤8）；
（3）求专家诊断完三个病人恰好用了一刻钟的概率．

Answer 1

分析：（1）用频数除以总体容量即可得出概率．再利用数学期望的计算公式可得Eξ，用

3×60

Eξ

可得专家一上午（按3小时计算）可诊断人数．
（2）由题意可得，第三号就诊的病人的前面可能是：两个A₁；两个A₂；一个A₁与一个A₂，由两种顺序；一个A₁与一个A₃有两种顺序．因此P（ξ≤8）=P（A₁）P（A₁）+P（A₂）P（A₂）+2P（A₁）P（A₂）+2P（A₁）P（A₃）．
（3）由表格可知：专家诊断完三个病人恰好用了一刻钟的有以下情况：A₁，A₃，A₅，可以有

A

3 3

种顺序；A₂，A₃，A₄，可以有

A

3 3

种顺序；A₅，A₂，A₂，可以有3种顺序；A₁，A₄，A₄，可以有3种顺序；A₃，A₃，A₃，只有一种情况．
P=

A

3 3

P(A1)P(A3)P(A5)+

A

3 3

P(A2)P(A3)P(A4)+

C

1 3

P(A5)P(A2)P(A2)+

C

1 3

P(A1)P(A4)P(A4)+P(A3)P(A3)P(A3)

解答：解：（1）P(A1)=

100

1000

=0.1，P（A₂）=

300

1000

=0.3，P(A3)=

200

1000

=0.2，P(A4)=

300

1000

=0.3，P(A5)=

100

1000

=0.1．
∴Eξ=0.1×3+0.3×4+0.2×5+0.3×6+0.1×7=5.3×60÷5=36．专家一上午（按3小时计算）可诊断36人．
（2）P（ξ≤8）=P（A₁）P（A₁）+P（A₂）P（A₂）+2P（A₁）P（A₂）+2P（A₁）P（A₃）=0.1×0.1+0.3×0.3+2×0.1×0.3+2×0.1×0.2=0.2．
（3）P=

A

3 3

P(A1)P(A3)P(A5)+

A

3 3

P(A2)P(A3)P(A4)+

C

1 3

P(A5)P(A2)P(A2)+

C

1 3

P(A1)P(A4)P(A4)+P(A3)P(A3)P(A3)=6×0.1×0.2×0.1+6×0.3×0.2×0.3+3×0.1×0.3×0.3+3×0.1×0.3×0.3+0.2³=0.182．

点评：本题考查了用频率估计概率、数学期望、独立性事件的概率与互斥事件的概率计算公式、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能方法，特别注意分类讨论时出现考虑不全面的情况，属于难题．