Question

如图，在△ABC中，D是边AC的中点，且AB=AD=1，BD=

2 3

3

．
（1）求cosA的值；
（2）求sinC的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）由余弦定理列出关系式，将AB，AD，BD的长代入求出cosA的值即可；
（2）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据D为AC中点，得到AC=2AD，求出AC的长，利用余弦定理表示出cosA，将AB，AC代入求出BC的长，再由AB，BC，sinA的值，利用正弦定理即可求出sinC的值．

解答： 解：（1）在△ABD中，AB=AD=1，BD=

2 3

3

，
∴cosA=

AB2+AD2-BD2

2AB•AD

=

1+1- 4 3

2×1×1

=

1

3

；
（2）由（1）知，cosA=

1

3

，且0＜A＜π，
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

，
∵D是边AC的中点，
∴AC=2AD=2，
在△ABC中，cosA=

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

1+4-BC2

4

=

1

3

，
解得：BC=

33

3

，
由正弦定理

BC

sinA

=

AB

sinC

得，sinC=

ABsinA

BC

1× 2 2 3

33 3

=

2 66

33

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．