Question

如图一边长为30cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起来做成一个无盖的长方体盒子，小盒子的容积V（单位：cm³）是关于截去的小正方形的边长x（单位：cm）的函数．写出V关于x的函数式，x为多少时小盒子的容积最大？最大容积是多少？

Answer 1

解：设小正方形边长为x，铁盒体积为V．
V=（30-2x）²•x=4x³-120x²+900x．
V′=12x²-240x+900=12（x-5）（x-15）．
∵30-2x＞0，
∴0＜x＜15．
∴x=5时，V_max=2100．
x为8时小盒子的容积最大，最大容积是2100cm³．
分析：据题意先设小正方形边长为x，计算出铁盒体积的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而求得此函数的最大值即可．
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．