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正方体ABCD-A/B/C/D/的棱长为8cm,M,N,P分别是AB,A/D/,BB/棱的中点.
(1)画出过M,N,P三点的平面与平面A/B/C/D/及平面BB/C/C的交线,并说明画法的依据;
(2)设过M,N,P三点的平面与B/C/交于点Q,求PQ的长.
分析:(1)利用直线上的两个点在平面内,则直线在平面内;若一条直线在一个平面内又在另一个平面内,则直线是交线
(2)利用相似三角形的对应边成比例,求出B′Q;据直角三角形的勾股定理求出PQ长.
解答:精英家教网(本小题满分10分)
解:(1)如图,延长MP、A/B/相交于点E,连接NE,交B/C/于Q,
连接QP,则NE为平面MNP与平面A/B/C/D/的交线,PQ为平面MNP
与平面BB/C/C的交线;
理由:∵E∈直线MP,且E∈平面MNP,且E∈平面A′B′C′D′,
同理,N∈平面MNP,且N∈平面A′B′C′D′,所以,NE为平面MNP与平面A/B/C/D/的交线,
显然,PQ为平面MNP与平面BB/C/C的交线;(5分)
(2)由已知和(1)得MB=B/E=4,又△EB′Q∽△EA′N,所以,B′Q=
4
3
,又B′P=4,
所以,PQ=
4
10
3
(5分)
点评:本题考查直线与平面的关系:直线上的两个点在平面内,直线在平面内;
相似三角形的对应边成比例、直角三角形的勾股定理.
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(1)证明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;
(2)证明:截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值,并求出这个值;
(3)若D′E与平面PQEF所成的角为45°,求D′E与平面PQGH所成角的正弦值.

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3
2
,则下列结论中错误的是(  )

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π
3
π
3
;直线A′C与平面ABCD所成角的正弦值为
3
3
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