Question

如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F且EF=

3

2

，则下列结论中错误的是（　　）

A．AC⊥BE

B．三棱锥A-BEF的体积为定值

C．EF∥平面ABCD

D．异面直线AE，BF所成的角为定值

Answer 1

分析：根据线面垂直的判定与性质，得到A项不错；根据点A到平面BEF的距离不变，以及三角形BEF面积不变，得到三棱锥A-BEF的体积为定值，得B项不错；根据面面平行的性质，得到C项不错；根据异面直线所成角的定义，可得D项是错的．

解答：解：对于A，可得出AC⊥平面BB'D'D，而BE是平面BB'D'D内的直线，因此AC⊥BE成立，故A项不错；
对于B，点A到平面BEF的距离也是点A到平面BB'D'D的距离，等于正方体面对角线的一半，而三角形BEF的边EF=

3

2

，且EF到B点距离为1，所以其面积S=

1

2

•

3

2

•1=

3

4

为定值，故V_A-BEF=

1

3

•

3

4

•

2

2

=

6

24

，故B项不错；
对于C，因为平面A'B'C'D'∥平面ABCD，EF?平面A'B'C'D'，所以EF∥平面ABCD，故C不错；
对于D，当EF变化时，异面直线AE、BF所成的角显然不是一个定值，故D项错误．
故选D

点评：本题以正方体为例，要求我们判断直线与平面、直线与直线的位置关系，以及求三棱锥的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、面面平行的性质和锥体体积公式等知识点，属于中档题．