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已知椭圆E=1(a>b>0)的右焦点为F,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于AB两点,且|AF|+|BF|=2,|AB|的最小值为2.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若圆x2y2的切线L与椭圆E相交于PQ两点,当PQ两点横坐标不相等时,OP(O为坐标原点)与OQ是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.
(1)y2=1(2)垂直
(1)设A(x0y0),则B(-x0,-y0),F(c,0)(c2a2b2)
|AF|+|BF|=2a=2,∴a.
又|AB|=?=2 ,0≤a2
∴|AB|min=2b=2,∴b=1,∴椭圆E的方程为y2=1.
(2)由题设条件可知直线L的斜率存在,设直线L的方程为ykxm.
∵直线L与圆x2y2相切,∴
m2 (k2+1).
ykxm代入y2=1中得,
(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ=8(2k2+1-m2)>0.
P(x1y1),Q(x2y2),x1x2
x1x2①,x1x2②,
y1y2k2x1x2km(x1x2)+m2③.
·x1x2y1y2=0,
,即OPOQ垂直
练习册系列答案
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