Question

如图所示,在直角坐标系xOy中,点P到抛物线C:y²=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.

(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面积的最大值.

Answer 1

(1)    (2)

解:(1)由题意知得
(2)由(1)知M(1,1),
直线OM的方程为y=x,

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),线段AB的中点为Q(m,m).
由题意知,
设直线AB的斜率为k(k≠0).
由
得(y₁-y₂)(y₁+y₂)=x₁-x₂,
故k·2m=1,
所以直线AB的方程为y-m=(x-m),
即x-2my+2m²-m=0.
由消去x,
整理得y²-2my+2m²-m=0,
所以Δ=4m-4m²>0,
y₁+y₂=2m,y₁y₂=2m²-m.
从而|AB|=·|y₁-y₂|=·.
设点P到直线AB的距离为d,
则d=.
设△ABP的面积为S,则
S=|AB|·d=|1-2(m-m²)|·.
由Δ=4m-4m²>0,得0<m<1.
令u=,0<u≤,则S=u(1-2u²).
设S(u)=u(1-2u²),0<u≤,则S′(u)=1-6u².
由S′(u)=0,得u=∈,
因此S(u)在单调递增,在单调递减,
所以S(u)_max=S=.
故△ABP面积的最大值为.