Question

给定椭圆C:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(,0),其短轴上的一个端点到F的距离为.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”的方程.
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过动点P作直线l₁,l₂使得l₁,l₂与椭圆C都只有一个交点,且l₁,l₂分别交其“准圆”于点M,N.
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l₁,l₂的方程;
②求证:|MN|为定值.

Answer 1

(1) +y²=1   x²+y²=4
(2) ①y=x+2,y=-x+2  ②见解析

(1)∵c=,a=,∴b=1.
∴椭圆方程为+y²=1,
准圆方程为x²+y²=4.
(2)①因为准圆x²+y²=4与y轴正半轴的交点为P(0,2),
设过点P(0,2)且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2,所以由消去y,
得(1+3k²)x²+12kx+9=0.
因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点,
所以Δ=144k²-4×9(1+3k²)=0,解得k=±1.
所以l₁,l₂的方程分别为y=x+2,y=-x+2.
②(ⅰ)当l₁,l₂中有一条无斜率时,不妨设l₁无斜率,
因为l₁与椭圆只有一个公共点,
则其方程为x=±.
当l₁方程为x=时,
此时l₁与准圆交于点(,1),(,-1),
此时经过点(,1)(或(,-1))且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1(或y=-1),
即l₂为y=1(或y=-1),显然直线l₁,l₂垂直;
同理可证l₁方程为x=-时,直线l₁,l₂垂直.
(ⅱ)当l₁,l₂都有斜率时,设点P(x₀,y₀),
其中+=4.
设经过点P(x₀,y₀)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x₀)+y₀,
则消去y,
得(1+3t²)x²+6t(y₀-tx₀)x+3(y₀-tx₀)²-3=0.
由Δ=0化简整理得:(3-)t²+2x₀y₀t+1-=0.
因为+=4,
所以有(3-)t²+2x₀y₀t+(-3)=0.
设l₁,l₂的斜率分别为t₁,t₂,
因为l₁,l₂与椭圆只有一个公共点,
所以t₁,t₂满足上述方程(3-)t²+2x₀y₀t+(-3)=0,
所以t₁·t₂=-1,即l₁,l₂垂直.
综合(ⅰ)(ⅱ)知:因为l₁,l₂经过点P(x₀,y₀),
又分别交其准圆于点M,N,且l₁,l₂垂直,
所以线段MN为准圆x²+y²=4的直径,
所以|MN|=4.