Question

如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F₁、F₂,线段OF₁、OF₂的中点分别为B₁、B₂,且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形.

(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过B₁作直线交椭圆于P、Q两点,使PB₂⊥QB₂,求△PB₂Q的面积.

Answer 1

(1) +=1     (2)

解:(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,则A(0,b),|OB₁|=|OB₂|=.
由=4得·c·b=4,
即bc=8.①
又△AB₁B₂是直角三角形,
且|OB₁|=|OB₂|,∴b=.②
由①②可得b=2,c=4.
∴a²=20.
∴椭圆的标准方程为+=1,离心率e==.
(2)由(1)知B₁(-2,0),B₂(2,0).
由题意知,直线PQ的倾斜角不为0,
故可设直线PQ的方程为x=my-2.
代入椭圆方程得(m²+5)y²-4my-16=0.(*)
设P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),
则y₁,y₂是方程(*)的两根.
∴y₁+y₂=,y₁·y₂=-.
又=(x₁-2,y₁),=(x₂-2,y₂).
∴·=(x₁-2)(x₂-2)+y₁y₂
=(my₁-4)(my₂-4)+y₁y₂
=(m²+1)y₁y₂-4m(y₁+y₂)+16
=--+16
=-.
由PB₂⊥B₂Q知·=0,
即-=0,
16m²-64=0,解得m=±2.
当m=2时,y₁+y₂=,y₁y₂=-,
|y₁-y₂|==.
=|B₁B₂|·|y₁-y₂|=.
当m=-2时,由椭圆的对称性可得=.
综上所述,△PB₂Q的面积为.