Question

【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， a4+a7=20，对任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2 ．
（I） 求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}定义如下：2mbm（m∈N*）是使不等式an≥m成立所有n中的最小值，求{bn}的通项公式及{（﹣1）m﹣1bm}的前2m项和T2m ．

Answer 1

【答案】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，∵a4+a7=20，对任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2 ．
∴2a1+9d=20，S2=3S1+1即a1+a2=3a1+1，亦即d=a1+1，联立解得a1=1，d=2，
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
（II）由an≥m，可得：2n﹣1≥m，解得：n≥ ．
当m=2k﹣1时，k∈N* ， 2mbm=k，即bm= = ．
当m=2k时，k∈N* ， 2mbm=k+1，即bm= = = ．
∴bm= ．
当k∈N*时，（﹣1）2k﹣1﹣1b2k﹣1+（﹣1）2k﹣1b2k= ﹣ = ．
∴T2m=（b1﹣b2）+（b3﹣b4）+…+（b2m﹣1﹣b2m）= + + +…+ + ，
即T2m=0+ + +…+ + ，
T2m=0+ + +…+ + ，
∴ T2m= + +…+ ﹣ = ﹣ = ﹣ ，
∴T2m=
【解析】（I）设等差数列{an}的公差为d，由a4+a7=20，对任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2 ． 可得2a1+9d=20，S2=3S1+1即d=a1+1，联立解出即可得出．（II）由an≥m，可得：2n﹣1≥m，可得：n≥ ．当m=2k﹣1时，k∈N* ， 2mbm=k，可得bm= ．当m=2k时，k∈N* ， 2mbm=k+1，可得bm= ．即可得出bm ． 当k∈N*时，（﹣1）2k﹣1﹣1b2k﹣1+（﹣1）2k﹣1b2k= ．利用分组求和、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)．