Question

【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的半焦距为c,且过点,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为.

(1)求椭圆E的方程;

(2)A为椭圆E上异于顶点的一点,点P满足,过点P的直线交椭圆E于B,C两点,且,若直线OA,OB的斜率之积为,求证: .

Answer 1

【答案】（1）.（2）见解析

【解析】试题分析：（1）利用点到直线距离公式得等量关系： ,即a=2b.再利用点在椭圆上的条件得,解得a=2,b=1,（2）设化简,得,代入椭圆方程得，再根据直线OA,OB的斜率之积为,得，即得.

试题解析：(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到直线的距离为,

得a=2b.又椭圆过点,则,联立得a=2,b=1,

所以椭圆方程为.

(2)证明:设因为,

又,得,

故,代入椭圆方程得: ,

整理得.①

因为A,B在椭圆E上,所以,②

又直线OA,OB的斜率之积为即.③

将②③两式代入(1)得.