Question

【题目】如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．
（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；
（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．

Answer 1

【答案】证明：（I）∵AB⊥平面PAC，PC平面PAC，
∴AB⊥PC，
∵∠APC=90°，∴AP⊥PC，
又∵AP平面PAB，AB平面PAB，AP∩AB=A，
∴PC⊥平面PAB，∵PC平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PAB．
（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，
∵M是CE中点，∴MQ∥AC，
∵PB=4PN，AB=4AQ，
∴QN∥AP，
又∵AP∩PC=P，AP平面APC，PC平面APC，QN∩QM=Q，QN平面MNQ，QM平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PAC，
∵MN平面MNQ，
∴MN∥平面PAC．

【解析】（I）由AB⊥平面PAC可得AB⊥PC，再结合AP⊥PC得出PC⊥平面PAB，故而平面PCE⊥平面PAB；
（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，则可证明平面MNQ∥平面PAC，故而MN∥平面PAC．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面与平面垂直的判定(一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直)．