【题目】已知函数
，曲线
在点
处的切线与
轴交点的横坐标为
.
（1）求
；
（2）证明：当
时，曲线
与直线
只有一个交点.
【答案】（1）
；（2）详见解析．
【解析】试题分析：（1）
，由导数的几何意义得
，故切线方程为
，将点
代入求
；（2）曲线
与直线
只有一个交点转化为函数
有且只有零点．一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值点，从而判断函数大致图象，再说明与
轴只有一个交点．本题首先入手点为
，当
时， 
，且
， 
，所以
在
有唯一实根．只需说明当
时无根即可，因为
，故只需说明
，进而转化为求函数
的最小值问题处理．
（1）
， 
．曲线
在点
处的切线方程为
．由题设得， 
，所以
．
（2）由（1）得， 
．设
．由题设得
．当
时， 
， 
单调递增， 
， 
，所以
在
有唯一实根．当
时，令
，则
． 
， 
在
单调递减；在
单调递增．所以
．所以
在
没有实根，综上， 
在
上有唯一实根，即曲线
与直线
只有一个交点．
备战中考寒假系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】学校艺术节对同一类的
，
，
，
四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是或作品获得一等奖”；
乙说：“作品获得一等奖”；
丙说：“，两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点， 
轴的正半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的单位长度建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）化曲线
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）设曲线
与
轴的一个交点的坐标为
，经过点
作斜率为1的直线， 
交曲线
于
两点，求线段
的长.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】环境监测中心监测我市空气质量，每天都要记录空气质量指数(指数采取10分制，保留一位小数)，现随机抽取20天的指数(见下表)，将指数不低于
视为当天空气质量优良.
天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
空气质量指数 |
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天数 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
空气质量指数 |
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(1)求从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；
(2)以这20天的数据估计我市总体空气质量(天数很多)，若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用
表示抽到空气质量为优良的天数，求
的分布列及数学期望.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】若数列
和
的项数均为
，则将数列
和
的距离定义为
.
（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离.
（2）记
为满足递推关系
的所有数列
的集合，数列
和
为
中的两个元素，且项数均为
.若
， 
，数列
和
的距离小于2016，求
的最大值.
（3）记
是所有7项数列
（其中
， 
或
）的集合， 
，且
中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证： 
中的元素个数小于或等于16.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】经国务院批复同意，重庆成功入围国家中心城市，某校学生社团针对“重庆的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图所示茎叶图：
（Ⅰ）计算女生打分的平均分，并用茎叶图的数字特征评价男生、女生打分谁更分散；
（Ⅱ）如图按照打分区间
、
、
、
、
绘制的直方图中，求最高矩形的高
；
（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的一个焦点与抛物线
的焦点
重合，且点
到直线
的距离为
， 
与
的公共弦长为
.
（1）求椭圆
的方程及点
的坐标；
（2）过点
的直线
与
交于
两点，与
交于
两点，求
的取值范围.
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