Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱长为4，E为面A₁D₁DA的中心，
CF=3FC₁，AH=3HD，
（1）求异面直线EB₁与HF之间的距离
（2）求二面角H-B₁E-A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

解：如图建立直角坐标系D₁-xyz，则E（2，0，2），B₁（4，4，0），H（1，0，4）
（1）=（2，4，-2），=（-1，4，-3）=（-1，0，2），设=（x，y，z）
即
，取x=1，则z=-3，y=-2，
则=（1，-2，-3）
异面直线EB₁与HF之间的距离为=
（2））=（2，4，-2），=（2，0，-2），=（-1，0，2），
设平面HB₁E的法向量为=（x，y，z）
则即
取x=2，则y=，z=1．∴=（2，，1）
令平面A₁B₁E的法向量为=（x，y，z）
则
取x=1，y=0，z=1，则为=（1，0，1）
∴|cos|==．
∵二面角H-B₁E-A为钝二面角．
∴二面角H-B₁E-A₁的平面角的余弦值为．
分析：（1）求出异面直线EB₁与HF的方向向量，以及与它们垂直的向量，异面直线EB₁与HF之间的距离等于．
（2）求出平面HB₁E的法向量为，平面A₁B₁E的法向量为，二面角H-B₁E-A₁的平面角的余弦值的绝对值等于夹角的余弦绝对值．
点评：本题考查异面直线距离，二面角的大小计算．做题的关键是熟练掌握向量法求异面直线距离、二面角的公式与步骤，利用向量法求空间距离、空间角是向量的一个重要运用，向量的引入，为立体几何中二面角求解带来了极大的方便，题后应注意总结此法求二面角的规律．