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(2012•辽宁)选修4-1:几何证明选讲
如图,⊙O和⊙O′相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点,连接DB并延长交⊙O于点E.证明:
(Ⅰ)AC•BD=AD•AB;
(Ⅱ)AC=AE.
分析:(I)利用圆的切线的性质得∠CAB=∠ADB,∠ACB=∠DAB,从而有△ACB∽△DAB,
AC
AD
=
AB
BD
,由此得到所证.
(II)利用圆的切线的性质得∠AED=∠BAD,又∠ADE=∠BDA,可得△EAD∽△ABD,
AE
AD
=
AB
BD
,AE•BD=AD•AB,再结合(I)的结论AC•BD=AD•AB 可得,AC=AE.
解答:证明:(I)∵AC与⊙O'相切于点A,故∠CAB=∠ADB,
同理可得∠ACB=∠DAB,
∴△ACB∽△DAB,∴
AC
AD
=
AB
BD

∴AC•BD=AD•AB.
(II)∵AD与⊙O相切于点A,∴∠AED=∠BAD,
又∠ADE=∠BDA,∴△EAD∽△ABD,
AE
AD
=
AB
BD
,∴AE•BD=AD•AB.
再由(I)的结论AC•BD=AD•AB 可得,AC=AE.
点评:本题主要考查圆的切线的性质,利用两个三角形相似得到成比列线段,是解题的关键,属于中档题.
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