Question

20．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y+1≥0}\\{λx-y-λ≤0}\end{array}\right.$（λ＞1）在平面上表示的区域为D
（1）当λ=2时，在坐标平面内画出区域D，并求区域为D的外接圆的标准方程；
（2）设区域为D的面积为S，求S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当λ=2时，作出不等式组对应的平面区域，结合平面区域的特点求出圆心和半径即可求区域为D的外接圆的标准方程；
（2）设区域为D的面积为S，作出对应的图象，结合函数的性质即可求S的取值范围．

解答 解：（1）当λ=2时，不等式组等价为$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y+1≥0}\\{2x-y-2≤0}\end{array}\right.$，对应的平面区域为（三角形ABC），

∵直线x-y+1=0与x+y+1=0垂直，
∴区域为D的外接圆的直径为BC，圆心为B，C的中点，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$，即C（3，4），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{1}{3}$，-$\frac{4}{3}$），
则B，C的中点为（$\frac{3+\frac{1}{3}}{2}$，$\frac{4-\frac{4}{3}}{2}$），即（$\frac{5}{3}$，$\frac{4}{3}$），
2R=|BC|=$\sqrt{（\frac{1}{3}-3）^{2}+（-\frac{4}{3}-4）^{2}}$=$\frac{10}{3}$$\sqrt{17}$，
即R=$\frac{5\sqrt{17}}{3}$，
即圆的标准方程为（x-$\frac{5}{3}$）²+（y-$\frac{5}{3}$）²=$\frac{1700}{9}$；
（2）设区域为D的面积为S，
当λ=1时，此时对应的直线为x-y-1=0，此时直线x-y-1=0与x-y+1=0平行，此时对应的面积S无穷大，
当直线为x=1时，得B（1，2），C（1，-2），
则三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}×2×4$=4，

故S＞4，
即S的取值范围是（4，+∞）．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及利用转化法是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．