Question

已知椭圆C₁：

x=2cosθ y=sinθ

（θ为参数），椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率
（1）求椭圆C₂的普通方程
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C₁和C₂上，

OB

=2

OA

，求直线AB的方程．《用参数方程的知识求解》

Answer 1

分析：（1）求出椭圆C₁：

x=2cosθ y=sinθ

（θ为参数）的普通方程，进而得到它的长轴长，离心率，根据椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率，即可确定椭圆C₂的方程；
（2）设A，B的极坐标分别为A（2cosθ，sinθ），B（2cos?，4sin?），根据

OB

=2

OA

，得到

2cos?=4cosθ 4sin?=sinθ

，解得tan?=±

1

2

，即可求得直线AB的方程．

解答：解：（1）椭圆C₁：

x=2cosθ y=sinθ

（θ为参数） 的普通方程为

x2

4

+y2=1
∵椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率
∴可设椭圆C₂的普通方程为

y2

a2

+

x2

4

=1
∵e2=

a2-4

a2

=

4-1

4

，∴a²=16
故椭圆C₂的普通方程为

y2

16

+

x2

4

=1；
（2）椭圆C₁，C₂的参数方程为

x=2cosθ y=sinθ

，

x=2cos? y=4sin?

∴A（2cosθ，sinθ），B（2cos?，4sin?）
∵

OB

=2

OA

，∴（2cos?，4sin?）=2（2cosθ，sinθ）
∴

2cos?=4cosθ 4sin?=sinθ

，整理得(

cos?

2

)2+(4sin?)2=1
∴sin2?=

1

5

，∴tan?=±

1

2

直线AB的方程为 y=

4sin?

2cos?

x=±x，
∴AB的方程为y=±x．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆几何量关系，联立方程组求解．