Question

19．已知正项数列{a_n}是公差为2的等差数列，数列{b_n}满足b₁=1，b₂=$\frac{5}{3}$，且b_n+1-b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{1}{（2-{b}_{n}）•{2}^{{a}_{n}}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n，并证明$\frac{1}{2}$≤T_n＜$\frac{10}{9}$对一切n∈N^*都成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）∵b_n+1-b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$．∴${b}_{2}-{b}_{1}=\frac{2}{{a}_{1}（{a}_{1}+2）}$，$\frac{2}{{a}_{1}（{a}_{1}+2）}=\frac{2}{3}$，解得a₁=1 （负值舍去），即数列{a_n}是公差为2，首项为1的等差数列，可得a_n=2n-1，b_n+1-b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$．由累加法得：${b}_{n}-{b}_{1}=1-\frac{1}{2n-1}$，从而可求得${b}_{n}=2-\frac{1}{2n-1}$；
（Ⅱ）c_n=$\frac{1}{（2-{b}_{n}）•{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{2n-1}}$，由错位相减法得T_n=$\frac{10}{9}-\frac{1}{9}\frac{6n+5}{{2}^{2n-1}}$．令f（n）=$\frac{6n+5}{{2}^{2n-1}}$，f（n+1）-f（n）=$\frac{6n+11}{{4•2}^{2n-1}}-\frac{6n+5}{{2}^{2n-1}}=\frac{-1n-9}{{2}^{2n+1}}＜0$，则T_n=$\frac{10}{9}-\frac{1}{9}\frac{6n+5}{{2}^{2n-1}}$递增，即$\frac{1}{2}$≤T_n＜$\frac{10}{9}$对一切n∈N^*都成立．

解答 解：（Ⅰ）∵b_n+1-b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$．∴${b}_{2}-{b}_{1}=\frac{2}{{a}_{1}（{a}_{1}+2）}$，$\frac{2}{{a}_{1}（{a}_{1}+2）}=\frac{2}{3}$，解得a₁=1 （负值舍去）
即数列{a_n}是公差为2，首项为1的等差数列，∴a_n=2n-1
b_n+1-b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$．
${b}_{2}-{b}_{1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}$，
${b}_{3}-{b}_{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$，
${b}_{4}-{b}_{3}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$…
${b}_{n}-{b}_{n-1}=\frac{1}{2（n-1）-1}-\frac{1}{2（n-1）+1}$
由累加法得：${b}_{n}-{b}_{1}=1-\frac{1}{2n-1}$，∴${b}_{n}=2-\frac{1}{2n-1}$
（Ⅱ）∵（2-b_n）2${\;}^{{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{2n-1}}{2n-1}$∴c_n=$\frac{1}{（2-{b}_{n}）•{2}^{{a}_{n}}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{2n-1}}$，
     T_n=$\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{3}{{2}^{3}}+\frac{5}{{2}^{5}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{2n-3}}+\frac{2n-1}{{2}^{2n-1}}$…①
 $\frac{1}{{2}^{2}}$T_n=$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{5}}$+…+$\frac{2n-5}{{2}^{2n-3}}$+$\frac{2n-3}{{2}^{2n-1}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{2n+1}}$…②
①-②得$\frac{3}{4}{T}_{n=\frac{1}{2}}+2（\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{5}}+…+\frac{1}{{2}^{2n-1}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{2n+1}}$
=$\frac{1}{2}+2×\frac{\frac{1}{{2}^{3}}（1-\frac{1}{{2}^{2n-2}}）}{1-\frac{1}{4}}-\frac{2n-1}{{2}^{2n+1}}$
=$\frac{5}{6}-\frac{6n+5}{3•{2}^{2n+1}}$
∴T_n=$\frac{10}{9}-\frac{1}{9}\frac{6n+5}{{2}^{2n-1}}$．
令f（n）=$\frac{6n+5}{{2}^{2n-1}}$，
∵f（n+1）-f（n）=$\frac{6n+11}{{4•2}^{2n-1}}-\frac{6n+5}{{2}^{2n-1}}=\frac{-1n-9}{{2}^{2n+1}}＜0$
∴令f（n）=$\frac{6n+5}{{2}^{2n-1}}$，当n∈N⁺时递减，则T_n=$\frac{10}{9}-\frac{1}{9}\frac{6n+5}{{2}^{2n-1}}$递增．
∴${T}_{1}≤{T}_{n}＜\frac{10}{9}$，即$\frac{1}{2}$≤T_n＜$\frac{10}{9}$对一切n∈N^*都成立．

点评 本题考查了数列的递推式，数列求和，数列的单调性，属于中档题．