Question

已知直线l：y=ax+1-a（a∈R）．若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①y=-2|x-1|；②y=x²；③（x-1）²+（y-1）²=1；④x²+3y²=4；则其中直线l的“绝对曲线”有（　　）

A．①④

B．②③

C．②④

D．②③④

Answer 1

分析：若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”，分别进行判定是否垂直a即可．

解答：解：①由直线y=ax+1-a，可知此直线过点A（1，1），y=-2|x-1|=

-2x+2，x≥1 2x-2，x＜1

，
如图所示，直线l与函数y=-2|x-1|的图象只能由一个交点，故不是“绝对函数”；
②y=x²与l：y=ax+1-a联立

y=x2 y=ax+1-a

解得

x=1 y=1

或

x=a-1 y=(a-1)2

，
此两个交点的距离

(a-2)2+(a2-2a)2

=|a|，化为（a-2）²（1+a²）-a²=0，
令f（a）=（a-2）²（1+a²）-a²，则f（1）=2-1=1＞0，f（2）=0-4＜0，因此函数f（a）在区间（1，2）内存在零点，即方程（a-2）²（1+a²）-a²=0，有解．
故此函数是“绝对函数”；
③（x-1）²+（y-1）²=1是以（1，1）为圆心，1为半径的圆，此时直线l总会与此圆由两个交点，且两个交点的距离是圆的直径2，∴存在a=±2满足条件，故此函数是“绝对函数”；
④把直线y=ax+1-a代入x²+3y²=4得（3a²+1）x²+6a（1-a）x+3（1-a）²-4=0，
∴x1+x2=

-6a(1-a)

3a2+1

，x1x2=

3(1-a)2-4

3a2+1

．
若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则a2=(1+a2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+a2)[

36a2(1-a)2

(3a2+1)2

-4×

3(1-a)2-4

3a2+1

]，
化为

a2

a2+1

-(

6a+2

3a2+1

)2=0，
令f（a）=

a2

a2+1

-(

6a+2

3a2+1

)2，而f（1）=

1

2

-22＜0，f（3）=

9

10

-

25

49

＞0．
∴函数f（a）在区间（1，3）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，而直线l过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时，直线满足条件，即此函数是“绝对函数”．
综上可知：能满足题意的曲线有②③④．
故选D．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的运用，属于难题．