Question

已知直线l：y=ax+1-a（a∈R），若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出的三条曲线方程：
①y=-2|x-1|；
②（x-1）²+（y-1）²=1；
③x²+3y²=4．
其中直线l的“绝对曲线”有

 

．（填写全部正确选项的序号）

Answer 1

分析：题目给出的是新定义题，给出的直线过定点（1，1），对于曲线y=-2|x-1|，通过分析其图象可知，直线l与该曲线不可能相交于两点，不符合新定义；对于曲线②（x-1）²+（y-1）²=1，直线l过该圆的圆心，所以a=±2时满足新定义；对于
曲线x²+3y²=4，假设该曲线是直线l的“绝对曲线”，把直线和其联立后看满足弦长等于a的值是否存在，由弦长公式得到关于a的方程，方程是高次方程，可以不求解，看方程对应函数的零点是否存在即可，利用根的存在性定理加以判断．

解答：解：由y=ax+1-a=a（x-1）+1，可知直线l过点A（1，1）．
对于①，y=-2|x-1|=

-2x+2，x≥1 2x-2，x＜1

，图象是顶点为（1，0）的倒V型，而直线l过顶点A（1，1）．
所以直线l不会与曲线y=-2|x-1|有两个交点，不是直线l的“绝对曲线”；
对于②，（x-1）²+（y-1）²=1是以A为圆心，半径为1的圆，
所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在a=±2，使得圆（x-1）²+（y-1）²=1与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|．
所以圆（x-1）²+（y-1）²=1是直线l的“绝对曲线”；
对于③，将y=ax+1-a代入x²+3y²=4，
得（3a²+1）x²+6a（1-a）x+3（1-a）²-4=0．
x1+x2=

6a(1-a)

3a2+1

，x1x2=

3(1-a)2-4

3a2+1

．
若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|，
则a2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+(ax1+1-a-ax2-1+a)2
=(a2+1)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(a2+1)[

36a2(1-a)2

(3a2+1)2

-4

3(1-a)2-4

3a2+1

]．
化简得

a2

a2+1

=(

6a+2

3a2+1

)2．
令f（a）=

a2

a2+1

-(

6a+2

3a2+1

)2．
f（1）=

1

2

-22=-

7

2

＜0，f（3）=

9

10

-(

5

7

)2=

191

490

＞0．
所以函数f（a）在（1，3）上存在零点，即方程

a2

a2+1

=(

6a+2

3a2+1

)2有根．
而直线过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时满足直线与椭圆相交．
故曲线x²+3y²=4是直线的“绝对曲线”．
故答案为②③．

点评：本题考查了两点间的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法及运算能力，特别是对③的判断，能够考查学生灵活处理问题的能力，是有一定难度题目．