【题目】如图,椭圆G的中心在坐标原点,其中一个焦点为圆F:x2+y2﹣2x=0的圆心,右顶点是圆F与x轴的一个交点.已知椭圆G与直线l:x﹣my﹣1=0相交于A、B两点.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求△AOB面积的最大值.
【答案】(Ⅰ), (Ⅱ).
【解析】
(I)设出椭圆方程,圆F的标准方程为(x﹣1)2+y2=1,圆心为F(1,0),圆与x轴的交点为(0,0)和(2,0),从而可求a=2,半焦距c=1,由此能求出椭圆方程;
(Ⅱ)直线与椭圆方程联立.利用韦达定理,求出S△AOB,利用换元法及导数,即可求得S△AOB的最大值.
解:(I)设椭圆方程为(a>b>0),圆F的标准方程为(x﹣1)2+y2=1,
圆心为F(1,0),圆与x轴的交点为(0,0)和(2,0),
由题意a=2,半焦距c=1,
∴b2=a2﹣c2=4﹣1=3,
∴椭圆方程为.
(Ⅱ)设A(,)、B(,),
由,消元可得(3m2+3)y2+6my﹣9=0
∴+,
∴||
∴S△AOB|OF|||
令,则t≥1,m2=t2﹣1
∴S△AOB
∴S′△AOB
∵t≥1,∴S′△AOB<0
∴S△AOB在t∈[1,+∞)上是减函数
∴当t=1时,S△AOB取得最大值,最大值为.
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【题目】某手机厂商在销售某型号手机时开展“手机碎屏险”活动.用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”,保费为元,若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕,为了合理确定保费的值,该手机厂商进行了问卷调查,统计后得到下表(其中表示保费为元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例):
(1)根据上面的数据计算得,求出关于的线性回归方程;
(2)若愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例超过,则手机厂商可以获利,现从表格中的种保费任取种,求这种保费至少有一种能使厂商获利的概率.
附:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为,
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【题目】微信作为一款社交软件已经在支付,理财,交通,运动等各方面给人的生活带来各种各样的便利.手机微信中的“微信运动”,不仅可以看自己每天的运动步数,还可以看到朋友圈里好友的步数. 先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能.他随机选取了其中40名,记录了他们某一天的走路步数,统计数据如下表所示:
(1)以样本估计总体,视样本频率为概率,在先生的微信朋友圈里的男性好友中任意选取3名,其中走路步数不低于6000步的有名,求的分布列和数学期望;
(2)如果某人一天的走路步数不低于8000步,此人将被“微信运动”评定为“运动达人”,否则为“运动鸟人”.根据题意完成下面的列联表,并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”
与“性别”有关?
附:.
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【题目】给出下列四个命题:①“”是“”成立的必要不充分条件②命题“若,则”的否命题是:“若,则”;③命题“,使得”的否定是:“,均有”④如果命题“”与命题“”都是真命题,那么命题一定是真命题;其中为真命题的个数是( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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【题目】已知椭圆()的左、右焦点分别是,,点为的上顶点,点在上,,且.
(1)求的方程;
(2)已知过原点的直线与椭圆交于,两点,垂直于的直线过且与椭圆交于,两点,若,求.
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【题目】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图1).因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用(如图2).假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.因筒车上盛水筒的运动具有周期性,可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒(视为质点)的运动规律.将筒车抽象为一个几何图形,建立直角坐标系(如图3).设经过t秒后,筒车上的某个盛水筒从点P0运动到点P.由筒车的工作原理可知,这个盛水筒距离水面的高度H(单位: ),由以下量所决定:筒车转轮的中心O到水面的距离h,筒车的半径r,筒车转动的角速度ω(单位: ),盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t(单位: ).已知r=3,h=2,筒车每分钟转动(按逆时针方向)1.5圈, 点P0距离水面的高度为3.5,若盛水筒M从点P0开始计算时间,则至少需要经过_______就可到达最高点;若将点距离水面的高度表示为时间的函数,则此函数表达式为_________.
图1 图2 图3
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【题目】在某艺术团组织的“微视频展示”活动中,该团体将从微视频的“点赞量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A视频的“点赞量”和“专家评分”中至少有一项高于B视频,则称A视频不亚于B视频.已知共有5部微视频展,如果某微视频不亚于其他4部视频,就称此视频为优秀视频.那么在这5部微视频中,最多可能有_______个优秀视频.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,以原点0为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)若曲线方程中的参数是,且与有且只有一个公共点,求的普通方程;
(2)已知点,若曲线方程中的参数是,,且与相交于,两个不同点,求的最大值.
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