【题目】已知椭圆(
)的左、右焦点分别是
,
,点
为
的上顶点,点
在
上,
,且
.
(1)求的方程;
(2)已知过原点的直线与椭圆
交于
,
两点,垂直于
的直线
过
且与椭圆
交于
,
两点,若
,求
.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)设,由已知
,求得
的坐标为
,代入椭圆方程,得
;再由
,求得
,结合
,求出
值,即可求得结论;
(2)先讨论直线斜率不存在和斜率为0的情况,验证不满足条件,设直线
的方程为
,与椭圆方程联立,消元,由韦达定理和相交弦长公式,求出
;
再将直线方程
与椭圆联立,求出
,由
求出
的值,进而求出
,再求出点
到直线
的距离,即可求解.
(1)设椭圆的焦距为
,∵
,
∴的坐标为
.∵
在
上,
将代人
,得
.
又∵,∴
,
∴.又∵
,
∴,
,
的方程为
.
(2)当直线的斜率不存在时,
,
,不符合题意;
当直线的斜率为0时,
,
,也不符合题意.
∴可设直线的方程为
,
联立得
,
则,
.
.
由得
或
∴.
又∵,∴
,∴
,
∴.∵
到直线
的距离
,
∴.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,
,
,
,
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点作与
轴不重合的直线
交椭圆
于
,
两点,连接
,
分别交直线
于,
,
两点,若直线
,
的斜率分别为
,
,试问:
是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.
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【题目】三位同学毕业后,发现市内一些小家电配件的批发商每天的批发零售的生意很火爆,于是他们三人决定利用所学专业进行自主创业,专门生产这类小家电配件,并与经销商签订了经销合同,他们生产出的小家电配件,以每件元的价格全部由经销商包销.经市场调研,生产这类配件,每月需要投入固定成本为
万元,每生产
万件配件,还需再投入资金
万元.在月产量不足
万件时,
(万元);在月产量不小于
万件时,
(万元).已知月产量是
万件时,需要再投入的资金是
万元.
(1)试将生产这些小家电的月利润(万元)表示成月产量
(万件)的函数;(注:月利润
月销售收入
固定成本
再投入成本)
(2)月产量为多少万件时,这三位同学生产这些配件获得的利润最大?最大利润是多少?
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【题目】在平面直角坐标系中,动点
到点
的距离和它到直线
的距离相等,记点
的轨迹为
.
(1)求的方程;
(2)设点在曲线
上,
轴上一点
(在点
右侧)满足
,若平行于
的直线与曲线
相切于点
,试判断直线
是否过点
?并说明理由.
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【题目】如图,椭圆G的中心在坐标原点,其中一个焦点为圆F:x2+y2﹣2x=0的圆心,右顶点是圆F与x轴的一个交点.已知椭圆G与直线l:x﹣my﹣1=0相交于A、B两点.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求△AOB面积的最大值.
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
、
,
是椭圆
的上顶点,
,且
的面积为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设、
是椭圆
上的两个动点,
,求当
的面积取得最大值时,直线
的方程.
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【题目】如图①,在平行四边形中,
,
,
,
于点
,将
沿
折起,使
,连接
、
,得到如图②所示的几何体.
(1)求证:平面平面
;
(2)若点在线段
上,直线
与平面
所成角的正切值为
,求三棱锥
的体积.
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【题目】据《人民网》报道,“美国国家航空航天局(NASA)发文称,相比20年前世界变得更绿色了,卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.”据统计,中国新增绿化面积的420/0来自于植树造林,下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据.(造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和)单位:公顷
按造林方式分 | ||||||
地区 | 造林总面积 | 人工造林 | 飞播造林 | 新封山育林 | 退化林修复 | 人工更新 |
内蒙 | 618484 | 311052 | 74094 | 136006 | 90382 | 6950 |
河北 | 583361 | 345625 | 33333 | 135107 | 65653 | 3643 |
河南 | 149002 | 97647 | 13429 | 22417 | 15376 | 133 |
重庆 | 226333 | 100600 | 62400 | 63333 | ||
陕西 | 297642 | 184108 | 33602 | 63865 | 16067 | |
甘肃 | 325580 | 260144 | 57438 | 7998 | ||
新疆 | 263903 | 118105 | 6264 | 126647 | 10796 | 2091 |
青海 | 178414 | 16051 | 159734 | 2629 | ||
宁夏 | 91531 | 58960 | 22938 | 8298 | 1335 | |
北京 | 19064 | 10012 | 4000 | 3999 | 1053 |
(Ⅰ)请根据上述数据,分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区;
(Ⅱ)在这十个地区中,任选一个地区,求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少?
(Ⅲ)从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中,任选两个地区,求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率.
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【题目】设椭圆过点
、
.
(1)求椭圆的方程;
(2)、
为椭圆的左、右焦点,直线
过
与椭圆交于
、
两点,求△
面积的最大值;
(3)求动点的轨迹方程,使得过点
存在两条互相垂直的直线
、
,且都与椭圆只有一个公共点.
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