Question

【题目】如图①，在平行四边形中，，，，于点，将沿折起，使，连接、，得到如图②所示的几何体．

（1）求证：平面平面；

（2）若点在线段上，直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取AC中点M，建系，利用向量证明DM⊥AB，DM⊥BC即可得出DM⊥平面ABC，故而平面ACD⊥平面ABC；（2）做出直线PD与平面BCD所成角，求出P到平面BCDE的距离，代入体积公式即可．

（1）证明：∵，，，∴平面，

以为坐标原点，以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图：

则，，，，设的中点为，则，

∴，，，

∴，，∴，，

又，平面，平面，∴平面，

又平面，∴平面平面.

（2）过作，垂足为，连接，则，∴平面，

∴为直线与平面所成的角．

设，则，故，∴，

∴，解得，即.

∵，，，

∴，∴．∴，

∴三棱锥的体积.