【题目】已知点,在圆
:
上任取一点
,
的垂直平分线交
于点
.(如图).
(1)求点的轨迹方程
;
(2)若过点的动直线
与(1)中的轨迹
相交于
、
两点.问:平面内是否存在异于点
的定点
,使得
恒成立?试证明你的结论.
【答案】(1)
(2)存在,证明见解析
【解析】
(1)利用垂直平分线的性质可得,从而得到点
的轨迹是以
,
为焦点的椭圆;
(2)先考虑当直线轴和直线
轴的情况得到定点
;再考虑对直线的一般情况都有点
满足题意.
(1)依题意得,,
故点的轨迹是以
,
为焦点的椭圆,
,
,
,
因此,所求的轨迹是椭圆:
.
(2)当直线轴时,由
得
知点
在
轴上,可设
.
当直线轴时,
,
,由
得
,或
.
因此,若存在异于点的定点
满足题意,则点
的坐标为
.
下面我们来证明:对任意直线均有
.
当直线的斜率不存在时,由上可知,结论成立.
当直线的斜率存在时,可设直线
:
,
,
.
把代入
得
,
由于点在椭圆
的内部,故判别式
.所以
,
,
,
易知点关于
轴的对称点为
,
而,
又,
所以,
即、
、
三点共线,
,
综上知,存在异于点的定点
满足题意.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】三位同学毕业后,发现市内一些小家电配件的批发商每天的批发零售的生意很火爆,于是他们三人决定利用所学专业进行自主创业,专门生产这类小家电配件,并与经销商签订了经销合同,他们生产出的小家电配件,以每件元的价格全部由经销商包销.经市场调研,生产这类配件,每月需要投入固定成本为
万元,每生产
万件配件,还需再投入资金
万元.在月产量不足
万件时,
(万元);在月产量不小于
万件时,
(万元).已知月产量是
万件时,需要再投入的资金是
万元.
(1)试将生产这些小家电的月利润(万元)表示成月产量
(万件)的函数;(注:月利润
月销售收入
固定成本
再投入成本)
(2)月产量为多少万件时,这三位同学生产这些配件获得的利润最大?最大利润是多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图①,在平行四边形中,
,
,
,
于点
,将
沿
折起,使
,连接
、
,得到如图②所示的几何体.
(1)求证:平面平面
;
(2)若点在线段
上,直线
与平面
所成角的正切值为
,求三棱锥
的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】据《人民网》报道,“美国国家航空航天局(NASA)发文称,相比20年前世界变得更绿色了,卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.”据统计,中国新增绿化面积的420/0来自于植树造林,下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据.(造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和)单位:公顷
按造林方式分 | ||||||
地区 | 造林总面积 | 人工造林 | 飞播造林 | 新封山育林 | 退化林修复 | 人工更新 |
内蒙 | 618484 | 311052 | 74094 | 136006 | 90382 | 6950 |
河北 | 583361 | 345625 | 33333 | 135107 | 65653 | 3643 |
河南 | 149002 | 97647 | 13429 | 22417 | 15376 | 133 |
重庆 | 226333 | 100600 | 62400 | 63333 | ||
陕西 | 297642 | 184108 | 33602 | 63865 | 16067 | |
甘肃 | 325580 | 260144 | 57438 | 7998 | ||
新疆 | 263903 | 118105 | 6264 | 126647 | 10796 | 2091 |
青海 | 178414 | 16051 | 159734 | 2629 | ||
宁夏 | 91531 | 58960 | 22938 | 8298 | 1335 | |
北京 | 19064 | 10012 | 4000 | 3999 | 1053 |
(Ⅰ)请根据上述数据,分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区;
(Ⅱ)在这十个地区中,任选一个地区,求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少?
(Ⅲ)从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中,任选两个地区,求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设抛物线的焦点为
,过点
作垂直于
轴的直线与抛物线交于
,
两点,且以线段
为直径的圆过点
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线与抛物线
交于
,
两点,点
为曲线
:
上的动点,求
面积的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】把一个均匀的正方体骰子抛掷两次,观察出现的点数,记第一次出现的点数为,第二次出现的点数为
,设直线
:
,直线
:
.
(1)求直线和直线
没有交点的概率;
(2)求直线和直线
的交点在第一象限的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
的焦距为
,点
在椭圆
上,且
的最小值是
(
为坐标原点).
(1)求椭圆的标准方程.
(2)已知动直线与圆
:
相切,且与椭圆
交于
,
两点.是否存在实数
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆过点
、
.
(1)求椭圆的方程;
(2)、
为椭圆的左、右焦点,直线
过
与椭圆交于
、
两点,求△
面积的最大值;
(3)求动点的轨迹方程,使得过点
存在两条互相垂直的直线
、
,且都与椭圆只有一个公共点.
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