Question

【题目】如图所示的多面体中，是菱形， 是矩形，平面，，，.

（1）求证：平面平面 ；

（2）在线段上取一点，当二面角的大小为时，求.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）取AE的中点M,先证明∠AMC就是二面角A-EF-C的平面角，再证明，即证平面平面 ；（2）以AC与BD交点O为坐标原点，0A、OB分别为轴建立直角坐标系，设，利用向量法求得，解方程即得.

解：（1）取AE的中点M.由于ED⊥面ABCD，ED//FB，

∴DE⊥AD，ED⊥DC，FB⊥BC，FB⊥AB，又ABCD是菱形，BDEF是矩形，

所以△ADE，△CDE，△ABF，△CBF是全等直角三角形，AE=AF，CE=CF，

所以AM⊥EF，CM⊥EF，∠AMC就是二面角A-EF-C的平面角

经计算，，

所以，即.

所以平面AEF⊥平面CEF.

（2）以AC与BD交点O为坐标原点，0A、OB分别为轴建立直角坐标系，由AD=BD=2，则A(,0,0)，M(0,O,)，C(﹣,0,0)，E(0,﹣1,)，

F(0,1,)，.

平面CEF的一个法向量.

设，则，

，

设平面NEF的法向量，则

得，

令，则，得.

因为二面角的大小为60°，

所以，

整理得，解得

所以.