Question

【题目】设椭圆过点、.

（1）求椭圆的方程；

（2）、为椭圆的左、右焦点，直线过与椭圆交于、两点，求△面积的最大值；

（3）求动点的轨迹方程，使得过点存在两条互相垂直的直线、，且都与椭圆只有一个公共点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）分别将、坐标代入椭圆方程求出，即可；（2）设，与椭圆方程联立得，，所以，进而利用基本不等式求出的最大值；（3）设， ，切点为，， ，切点为， ，根据条件可得 ①，③，④，⑤，联立以上式子求出的轨迹即可．

（1）将、坐标代入得，解得，，所以椭圆方程为；

（2）设，联立，整理得，

所以，，

而，

所以，

则，当且仅当时取最大值；

（3）设，，

切点为，，，切点为， ，

因为，所以①，

联立，得，，

所以②，

且③，④，

联立①③④可得⑤，

联立①③④⑤，得，

所以的轨迹方程为．