Question

(本小题满分12分) 已知椭圆C：的长轴长为4.

（Ⅰ）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；

（Ⅱ）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为当时，求椭圆的方程．

 

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）利用椭圆的性质求交点；（2）利用点差法可求圆锥曲线和一直线两个交点的问题，第一步，先设出直线与圆锥曲线两个交点如，，这两点是圆锥曲线上的点，代入圆锥曲线方程，然后作差，通过变形可得一个直线斜率的式子，一般情况下，知道的中点或斜率

常用这种方法，但要注意必要时，对得出的答案要验证，有时会产生增根.

试题解析：(1)由，又2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝2，c2＝a2－b2＝2，∴两个焦点坐标为

(2)由于过原点的直线l与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，不妨设：M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，由于M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有,.

两式相减得：.由题意可知直线PM、PN的斜率存在，

则则

由a＝2得b＝1，故所求椭圆的方程为 .

考点：求椭圆方程及焦点.