Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），判断方程f（x）=

f(x1)+f(x2)

2

在区间（x₁，x₂） 内是否有实根，并说明理由；
（2）若b=c=1且x∈（-∞，1]时有f（2^x）＞0，求a的取值范围；
（3）若a＞b＞c且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有两个相异交点，并求两交点间距离的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令g（x）=f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

，则可得 g（x₁）•g（x₂）=-

1

4

[f(x2)-f(x1)]2＜0，再由g（x）得图象是连续的，可得g（x）在区间（x₁，x₂） 内必有零点，即 f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

在区间（x₁，x₂） 内必有实数根．
（2）由题意可得 a＞-(

1

2

)x-(

1

4

)x在区间（-∞，1]上恒成立，函数t=-(

1

2

)x-(

1

4

)x在区间（-∞，1]上是增函数，故当x=1时，函数t有最大值为-

3

4

，故有a＞-

3

4

，且a≠0．
（3）根据二次函数f（x）=ax²+bx+c的判别式△大于零，f（x）的图象与x轴有两个相异交点，由条件求得-2＜

c

a

＜-

1

2

，再由根与系数的关系求出|x₁-x₂|=

(x1+ x2)2-4x1x2

的范围，即为所求．

解答：解：（1）令g（x）=f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

，则 g（x₁）=f（x₁）-

f(x1)+f(x2)

2

=-

f(x2) - f(x1)

2

，g（x₂）=f（x₂）-

f(x1)+f(x2)

2

=

f(x2) - f(x1)

2

，
∴g（x₁）•g（x₂）=-

1

4

[f(x2)-f(x1)]2＜0．
再由g（x）得图象是连续的，可得g（x）在区间（x₁，x₂） 内必有零点，即 f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

在区间（x₁，x₂） 内必有实数根．
（2）若b=c=1且x∈（-∞，1]时有f（2^x）＞0，故a4^x+2^x-1＞0在区间（-∞，1]上恒成立，即a＞-(

1

2

)x-(

1

4

)x在区间（-∞，1]上恒成立．
而函数t=-(

1

2

)x-(

1

4

)x在区间（-∞，1]上是增函数，故当x=1时，函数t有最大值为-

3

4

，∴a＞-

3

4

，且a≠0．
故a的取值范围是（-

3

4

，0）∪（0，+∞）．
（3）证明：∵a＞b＞c且f（1）=0，∴a-b-c=0，a＞0，c＜0，∴判别式△=b²-4ac=（a-c）²＞0，
f（x）的图象与x轴有两个相异交点，设f（x）=0的两个根分别为 x₁ 和 x₂，则 x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
又由上可得 a＞-a-c，

c

a

＜-1-

c

a

＜1，故有-2＜

c

a

＜-

1

2

．
|x₁-x₂|=

(x1+ x2)2-4x1x2

=

b2 a2 -  4c a

=

(a-c)2 a2

=1-

c

a

．
再由 

3

2

＜1-

c

a

＜3，可得 

3

2

＜|x₁-x₂|＜3，故两交点间距离的取值范围为（

3

2

，3）．

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．