为调查某社区居民的业余生活状况.研究居民的休闲方式与性别的关系.随机调查了该社区80名居民.得到下面的数据表:休闲方式性别看电视运动合计女101020男105060总计206080(Ⅰ)根据以上数据.能否有99%的把握认为“居民的休闲方式与性别有关系 ?(Ⅱ)将此样本的频率估计为总体的概率.随机调查3名在该社区的男性.设调查的3人以运动为休闲方式的人数为随机� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．为调查某社区居民的业余生活状况，研究居民的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80名居民，得到下面的数据表：

休闲方式性别	看电视	运动	合计
女	10	10	20
男	10	50	60
总计	20	60	80

（Ⅰ）根据以上数据，能否有99%的把握认为“居民的休闲方式与性别有关系”？
（Ⅱ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人以运动为休闲方式的人数为随机变量X．求X的分布列、数学期望和方差．

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

分析（Ⅰ）根据样本提供的2×2列联表，计算K的观测值K²，对照题目中的表格，得出统计结论；
（Ⅱ）由题意得：X～B（3，$\frac{5}{6}$），由此能求出X的数学期望和方差．

解答解：（I）根据样本提供的2×2列联表得：
K²=60×20×20×6050×10-10×102=$\frac{80}{9}$≈8.889；…（2分）
K²＞6.635，
所以有99%的把握认为“居民的休闲方式与性别有关”…（5分）
（Ⅱ）由题意得：X～B（3，$\frac{5}{6}$），
且 P（X=k）=${C}_{3}^{k}$（$\frac{1}{6}$）^3-k（$\frac{5}{6}$）^k，k=0，1，2，3…（8分）
所以，分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{216}$	$\frac{15}{216}$	$\frac{75}{216}$	$\frac{125}{216}$

由服从X～B（n，p）的二项分布事件的期望E（X），E（X）=np=3×$\frac{5}{6}$=$\frac{5}{2}$，
E（X）=$\frac{5}{2}$，∴…（10分）
DX=np（1-p）=3×$\frac{5}{6}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{12}$．
∴DX=$\frac{5}{12}$．…（12分）

点评本题考查了独立性检验的应用问题，独立性检验是考查两个分类变量是否有关系，并且能较精确的给出这种判断的可靠程度的一种重要的统计方法，主要是通过K²的观测值与临界值的比较解决的，属于中档题．

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