Question

如图，点M为扇形AOB的弧的四等分点即

AM

=

1

4

AB

，动点C、D分别在线段OA、OB上，且OC=BD若OA=1，∠AOB=120°，则MC+MD的最小是

4- 3

．

Answer 1

分析：如图，连结OM，设OC=a，则OD=1-a，∠AOC=30°，∠MOD=90°，利用余弦定理求得MC，利用勾股定理求得MD，可得MC+MD，再根据两点间的距离公式求得MC+MD的最小值．

解答：解：如图所示：连结OM，设OC=a，则OD=1-a，∠AOC=

1

4

×120°=30°，∠MOD=90°．
由余弦定理可得：MC=

a2+12-2×1×a×cos30°

=

(a- 3 2 )2+ 1 4

，
∴MD=

(1-a)2+1

=

(a-1)2+1

．
由于

MC+MD= (a- 3 2 )2+(0- 1 2 )2 + (a-1)2+(0-(-1))2

，表示点（a，0）到点（

3

2

，

1

2

）和点（1，-1）的距离之和，
故有

MC+MD≥ (1- 3 2 )2+( 1 2 -(-1))2 = 4- 3

，可得MC+MD的最小值为

4- 3

，
故答案为：

4- 3

．

点评：本题主要考查余弦定理、两点间的距离公式的应用，属于中档题．