Question

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，O为原点．
（I）如图①，点M为椭圆C上的一点，N是MF₁的中点，且NF₂丄MF₁，求点M到y轴的距离；
（II）如图②，直线l：：y=k+m与椭圆C上相交于P，G两点，若在椭圆C上存在点R，使OPRQ为平行四边形，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出两个焦点的坐标，设出M点的坐标，由中点坐标公式求出N点的坐标，则有两向量的坐标，根据NF₂丄MF₁，由它们对应的数量积等于0即可求得M点的坐标，则点M到y轴的距离；
（Ⅱ）设出P，Q点的坐标，根据OPRQ为平行四边形，把R的坐标用P，Q点的坐标表示，然后把替换后的R的坐标代入椭圆方程，再由直线方程和椭圆方程联立，利用根与系数关系求出两点P，Q的横坐标之和，代入上面的方程即可得到m与k的关系，由此可以求出m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由a²=2，b²=1，所以c²=a²-b²=1，所以c=1，则F₁（-1，0），F₂（1，0）
设M（x，y），则MF₁的中点为，
，．
∵MF₁⊥NF₂，∴，即，
∴    （1）
又有  （2）
由（1）、（2）解得或（舍去）
所以点M 到y轴的距离为．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），
∵OPRQ为平行四边形，∴x₁+x₂=x_R，y₁+y₂=y_R．
∵R点在椭圆上，∴，即，
即，
化简得，  （3）．
由，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
由△＞0，得2k²+1＞m²  （4），
且．                          
代入（3）式，得，
化简得4m²=1+2k²，代入（4）式，得m≠0．
又4m²=1+2k²≥1，解得或．
点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了平面向量在解析几何中的应用，训练了整体代换思想，训练了学生的计算能力，特别是（Ⅱ）中的坐标转换是解决该题的关键所在．此题属于难题．