Question

球面上三点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，若经过三点的小圆的面积为2π，则球的体积为

1. A.
   2π
2. B.
   4π
3. C.
   π
4. D.
   5π

Answer 1

B
分析：设球面上三点分别为A，B，C．因为正三角形ABC的外径r=，故可以得到高，D是BC的中点．在△OBC中，又可以得到角以及边与R的关系，在Rt△ABD中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R，最后利用体积公式求出球的体积即可．
解答：设球面上三点分别为A，B，C．
因为正三角形ABC的外接圆的半径r=，故高AD=r=，D是BC的中点．
在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R．
在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB²=BD²+AD²，得2R²=R²+9，所以R=．
∴V==4π
故选B．
点评：本题考查学生的空间想象能力，以及对球的性质认识及利用，球的体积和表面积是常考的题型，是基础题．