【题目】(本小题满分14分)
已知函数的图象在
上连续不断,定义:
,
.
其中,表示函数
在
上的最小值,
表示函数
在
上的最大值.若存在最小正整数
,使得
对任意的
成立,则称函数
为
上的“
阶收缩函数”.
(Ⅰ)若,
,试写出
,
的表达式;
(Ⅱ)已知函数,
,试判断
是否为
上的“
阶收缩函数”,如果是,求出对应的
;如果不是,请说明理由;
(Ⅲ)已知,函数
是
上的2阶收缩函数,求
的取值范围.
【答案】解:(1)由题意可得:,
。
(2),
,
当时,
当时,
当时,
综上所述,。
即存在,使得
是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。
(3),令
得
或
。
函数的变化情况如下:
x | 0 | 2 | |||
- | 0 | + | 0 | - | |
0 | 4 |
令得
或
。
(i)当时,
在
上单调递增,因此,
,
。因为
是
上的“二阶收缩函数”,所以,
①对
恒成立;
②存在,使得
成立。
①即:对
恒成立,由
解得
或
。
要使对
恒成立,需且只需
。
②即:存在,使得
成立。
由解得
或
。
所以,只需。
综合①②可得。
(i i)当时,
在
上单调递增,在
上单调递减,
因此,,
,
,
显然当时,
不成立。
(i i i)当时,
在
上单调递增,在
上单调递减,因此,
,
,
,
显然当时,
不成立。
综合(i)(i i)(i i i)可得:
【解析】
试题(1)根据的最大值可求出
,
的解析式;(2)根据函数
,
上的值域,先求出
,
的解析式,再根据
求出k的取值范围得到答案.(3)先对函数
求导判断函数的单调性,进而写出
,
的解析式,然后再由
求出k的取值范围.
试题解析:
(1)由题意可得:,
,
,
.
(2),
,
当时,
,∴
,
;
当时,
,∴
,∴
;
当时,
,∴
,
综上所述,.即存在
,使得
是
上的“4阶收缩函数”.
(3),令
得
或
.函数
的变化情况如下:
令得
或
.
(1)当时,
在
上单调递增,因此,
,
.因为
是
上的“二阶收缩函数”,所以,
①,对
恒成立;
②存在,使得
成立.
①即:对
恒成立,由
解得
或
.
要使对
恒成立,需且只需
.
②即:存在,使得
成立.
由解得
或
.所以,只需
.
综合①②可得
(2)当时,
在
上单调递增,在
上单调递减,因此,
,
,
,
,显然当
时,
不成立,
(3)当时,
在
上单调递增,在
上单调递减,因此,
,
,
,
,显然当
时,
不成立.
综合(1)(2)(3)可得:.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验,估计甲获得冠军的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线和曲线
的极坐标方程;
(2)已知射线(
),将射线
顺时针方向旋转
得到
:
,且射线
与曲线
交于两点,射线
与曲线
交于
两点,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查,得到的统计数据如表所示:
积极参加班级工作 | 不积极参加班级工作 | 合计 | |
学习积极性高 | 18 | 7 | 25 |
学习积极性不高 | 6 | 19 | 25 |
合计 | 24 | 26 | 50 |
(1)如果随机调查这个班的一名学生,那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少?
(2)若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生,现从中抽取2名学生参加某项活动,问2名学生中有1名男生的概率是多少?
(3)学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系?请说明理由.
附:
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列命题:
①动点M到二定点A、B的距离之比为常数则动点M的轨迹是圆
②椭圆的离心率为
,则
③双曲线的焦点到渐近线的距离是
④已知抛物线上两点
(
是坐标原点),则
以上命题正确的是( )
A.②③④B.①④
C.①③D.①②③
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