设函数.
(1)求函数的图像在点处的切线方程;
(2)求的单调区间;
(3)若,为整数,且当时,,求的最大值.
(1)函数的图像在点处的切线方程为;(2)若, 在区间上单调递增,若,在区间上单调递减,在上单调递增;(3)整数的最大值为2.
解析试题分析:(1)求函数的图像在点处的切线方程,只需求出斜率即可,由导数的几何意义可知,,因此对函数求导,得,求出的斜率,由点斜式可得切线方程;(2)求函数的单调区间,可先求出函数的导数,由于函数中含有字母,故应按的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性,给出单调区间;(3)由题设条件结合(2),将不等式,在时成立转化为成立,由此问题转化为求在上的最小值问题,求导,确定出函数的最小值,即可得出的最大值.本题解题的关键一是应用分类的讨论的方法,第二是化归思想,将问题转化为求函数的最小值问题.
试题解析:(1),,
函数的图像在点处的切线方程为
(2).
若,则恒成立,所以,在区间上单调递增.
若,则当时,,当时,,
所以,在区间上单调递减,在上单调递增.
(3)由于,所以,
故当时,①
令,则
函数在上单调递增,而
所以在上存在唯一的零点,故在上存在唯一的零点.
设此零点为,则.当时,;当时,;
所以,在上的最小值为.由可得
所以,由于①式等价于.
故整数的最大值为2.
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关
系分别如图①、②所示.问:
(1)甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快?
(2)甲、乙二人百米赛跑,快到终点时,谁跑得快(设Δs为s的增量)?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.
(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,其中,
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论的单调性;
(3)若有两个极值点和,记过点的直线的斜率为,问是否存在,使得?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数,e为自然对数的底数.
(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;
(2)当a=-1时,试推断方程|f(x)|=+是否有实数解,并说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=.
(1)函数f(x)在点(0,f(0))的切线与直线2x+y-1=0平行,求a的值;
(2)当x∈[0,2]时,f(x)≥恒成立,求a的取值范围.
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