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设函数.
(1)求函数的图像在点处的切线方程;
(2)求的单调区间;
(3)若为整数,且当时,,求的最大值.

(1)函数的图像在点处的切线方程为;(2)若在区间上单调递增,若在区间上单调递减,在上单调递增;(3)整数的最大值为2.

解析试题分析:(1)求函数的图像在点处的切线方程,只需求出斜率即可,由导数的几何意义可知,,因此对函数求导,得,求出的斜率,由点斜式可得切线方程;(2)求函数的单调区间,可先求出函数的导数,由于函数中含有字母,故应按的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性,给出单调区间;(3)由题设条件结合(2),将不等式,时成立转化为成立,由此问题转化为求上的最小值问题,求导,确定出函数的最小值,即可得出的最大值.本题解题的关键一是应用分类的讨论的方法,第二是化归思想,将问题转化为求函数的最小值问题.
试题解析:(1)
函数的图像在点处的切线方程为
(2).
,则恒成立,所以,在区间上单调递增.
,则当时,,当时,
所以,在区间上单调递减,在上单调递增.
(3)由于,所以,
故当时,
,则
函数上单调递增,而
所以上存在唯一的零点,故上存在唯一的零点.
设此零点为,则.当时,;当时,
所以,上的最小值为.由可得
所以,由于①式等价于.
故整数的最大值为2.
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.

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