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已知函数.
(1)当时,求曲线在点的切线方程;
(2)对一切,恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,试讨论内的极值点的个数.

(1) ;(2)实数的取值范围为
(3)当内的极值点的个数为1;当时,
内的极值点的个数为0.

解析试题分析:(1)切点的导函数值,等于过这点的切线的斜率,由直线方程的点斜式即得所求.
(2)由题意:,转化成,只需确定的最大值.
,利用导数研究其最大值.
(3)极值点处的导函数值为零.
问题可转化成研究内零点的个数.
注意到 ,因此,讨论时,内零点的个数,使问题得解.
本题主要考查导数的应用,方法比较明确,分类讨论、转化与化归思想的应用,是解决问题的关键.
试题解析:(1) 由题意知,所以

所以曲线在点的切线方程为         4分
(2)由题意:,即
,则
时,;当时,
所以当时,取得最大值
故实数的取值范围为.                       9分
(3) , 
①当时, ∵
∴存在使得 
因为开口向上,所以在,在
内是增函数, 内是减函数
时,内有且只有一个极值点, 且是极大值点.       11分
②当时,因
又因为开口向上
所以在内为减函数,故没有极值点    13分
综上可知:当内的极值点的个数为1;当时,

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