已知函数.
(1)当时,求曲线在点的切线方程;
(2)对一切,恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,试讨论在内的极值点的个数.
(1) ;(2)实数的取值范围为;
(3)当,在内的极值点的个数为1;当时, 在
内的极值点的个数为0.
解析试题分析:(1)切点的导函数值,等于过这点的切线的斜率,由直线方程的点斜式即得所求.
(2)由题意:,转化成,只需确定的最大值.
设,利用导数研究其最大值.
(3)极值点处的导函数值为零.
问题可转化成研究在内零点的个数.
注意到, ,因此,讨论,时,在内零点的个数,使问题得解.
本题主要考查导数的应用,方法比较明确,分类讨论、转化与化归思想的应用,是解决问题的关键.
试题解析:(1) 由题意知,所以
又,
所以曲线在点的切线方程为 4分
(2)由题意:,即
设,则
当时,;当时,
所以当时,取得最大值
故实数的取值范围为. 9分
(3) ,,
①当时, ∵
∴存在使得
因为开口向上,所以在内,在内
即在内是增函数, 在内是减函数
故时,在内有且只有一个极值点, 且是极大值点. 11分
②当时,因
又因为开口向上
所以在内则在内为减函数,故没有极值点 13分
综上可知:当,在内的极值点的个数为1;当时,
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=
2a,f′(2)=-b,其中a,b∈R.
①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;②设g(x)=f′(x)e-x,求g(x)的极值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数在处取得极小值.
(1)若函数的极小值是,求;
(2)若函数的极小值不小于,问:是否存在实数,使得函数在上单调递减?若存在,求出的范围;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x2+ (x≠0,a∈R).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx.
(1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=aln(2x+1)+bx+1.
(1)若函数y=f(x)在x=1处取得极值,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x+y-3=0平行,求a的值;
(2)若b=,试讨论函数y=f(x)的单调性.
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