分析:(1)直接由3a
2、2a
3、a
4成等差数列列式求出公比q的值,则数列{a
n}的通项公式可求;
(2)把数列{a
n}的通项公式代入b
n=21og
3a
n整理即可得到结论;
(3)令
cn=,则不等式等价于(-1)
n+1λ<c
n,作比后得到数列{c
n}的单调性,分n的奇偶性求出数列{c
n}的最小值,从而得到结论.
解答:解:(1)由3a
2,2a
3,a
4 成等差数列,
所以4a
3=a
4+3a
2,即4
a1q2=a1q3+3a1q.∵a
1≠0,q≠0,
∴q
2-4q+3=0,即(q-1)(q-3)=0.
∵q≠1,∴q=3,
由a
1=3,得
an=a1qn-1=3n;
(2)∵
an=3n,∴
bn=2log33n=2n.
得b
n-b
n-1=2.
∴{b
n}是首项为9,公差为2的等差数列;
(3)由b
n=2n,
设
cn=,则不等式等价于(-1)
n+1λ<c
n.
===
=>1.
∵c
n>0,∴c
n+1>c
n,数列{c
n}单调递增.
假设存在这样的实数λ,使的不等式(-1)
n+1λ<c
n对一切n∈N
*都成立,则
①当n为奇数时,得
λ<(cn)min=c1=;
当n为偶数时,得
-λ<(cn)min=c2=,即
λ>-.
综上,
λ∈(-,),由λ是非零整数,知存在λ=±1满足条件.
点评:本题考查了等差数列和等比数列的通项公式,考查了数列的函数特性,考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法,是中档题.