Question

已知函数f（x）=x³+2x²．
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值和极小值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax+4xlnx恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：

4×1+1

4×12

+

4×2+1

4×22

+

4×3+1

4×32

+…+

4×n+1

4×n2

≥ln（n+1）（n∈N^*）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数导函数f'（x），判断函数的单调性，然后求出极值．
（2）f（x）≥ax+4xlnx恒成立，转化为a≤x²+2x-4lnx对x∈（0，+∞）恒成立．通过函数的导数求出函数的最值即可．
（3）利用（2）知x＞0时，x²+2x-4lnx≥3恒成立．推出

4n+1

4×n2

≥ln（n+1）-lnn，通过累加法证明所证明的不等式即可．

解答： 解：（1）∵f'（x）=3x²+4x=x（3x+4），x（3x+4）＞0
可得x∈（-∞，-

4

3

）和（0，+∞）．
f（x）在（-∞，-

4

3

）和（0，+∞）上递增，在（-

4

3

，0）上递减
∴f（x）的极大值为f（-

4

3

）=

32

27

f（x）的极小值为f（0）=0．…（4分）
（2）f（x）≥ax+4xlnx恒成立，
即x³+2x²-4xlnx≥ax对?x∈（0，+∞）恒成立．
也即a≤x²+2x-4lnx对x∈（0，+∞）恒成立．
令g（x）=x²+2x-4lnx，只需a≤g（x）_min即可．
g'（x）=2x+2-

4

x

=

2(x-1)(x+2)

x

，x∈（0，+∞），
y=g（x）在（0，1）上递减，（1，+∞）上递增
g（x）_min=g（1）=3，∴a≤3．…（9分）
（3）由（2）知x＞0时，x²+2x-4lnx≥3恒成立．
即（x-1）（x+3）≥4lnx 即

(x-1)(x+3)

4

≥lnx恒成立．
令x=1+

1

n

 得

4n+1

4×n2

≥ln（1+

1

n

），
即

4n+1

4×n2

≥ln（n+1）-lnn
故

4(n-1)+1

4(n-1)2

≥lnn-ln（n-1）
…

4×2+1

4×22

≥ln3-ln2

4×1+1

4×12

≥ln2-ln1
把以上n个式子相加得

4×1+1

4×12

+

4×2+1

4×22

+

4×3+1

4×32

+…+

4×n+1

4×n2

≥ln（n+1）．…（14分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值，构造法以及单调性的应用，难度比较大，是一个类型的常用方法．