Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边且acosC=b-

1

2

c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）当a=

3

，S_△ABC=

3

2

时，求边b和c的大小．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由已知可得sinAcosC=sinB-

1

2

sinC，又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，可解得cosA=

1

2

，又0＜A＜π，即可求得角A的大小；
（Ⅱ）由S_△ABC=

3

2

=

1

2

bcsinA可得：bc=2，由余弦定理可得b²+c²-bc=3，联立即可解得b，c的值．

解答： 解：（Ⅰ）由acosC=b-

1

2

c．可得：sinAcosC=sinB-

1

2

sinC，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴

1

2

sinC=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
又∵0＜A＜π，
∴A=

π

3

（Ⅱ）由S_△ABC=

3

2

=

1

2

bcsinA可得：bc=2．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，可知：b²+c²-bc=3，
即有：（b+c）²-3bc=3，
所以解得：b+c=3，
从而解得：b=2，c=1，或b=1，c=2

点评：此题主要考查了正弦定理、余弦定理以及特殊角的三角函数值的应用，熟练掌握正弦定理，余弦定理是解题的关键，属于基本知识的考查．