Question

在数列{a_n}中，a₃=1，S_n是其前n项和，且S_n=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n，S_n；
（Ⅱ）设b_n=log₂S_n，数列{c_n}满足c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）•2^b_n，数列{c_n}的前n项和为T_n，当n＞1时，求使

2

n-1

T_n＜2ⁿ+

n+1

5

成立的最小正整数n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当n=1时，a₁=a₂，当n=2时，a₁+a₂=a₃=1，从而a1=a2=

1

2

，由

Sn=an+1 Sn-1=an，n≥2

，得2a_n=a_n+1，n≥2，从而数列{a_n}从第二项起是首项为

1

2

，公比为2的等比数列，由此能求出a_n，S_n．
（Ⅱ）由S_n=2^n-2，得b_n=log₂S_n=n-2，从而由c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）•2^b_n，得到c_n=

1

(n+1)(n+2)

+n•2^n-2，由此利用分组求和法和裂项求和法求出T_n=

n+1

n+2

+(n-1)•2n-1，由此能求出当n＞1时，使

2

n-1

Tn＜2n+

n+1

5

成立的最小正整数n的值为n=4．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=a₂，
当n=2时，a₁+a₂=a₃=1，
∴a1=a2=

1

2

，
由

Sn=an+1 Sn-1=an，n≥2

，得a_n=a_n+1-a_n，即2a_n=a_n+1，n≥2，

an+1

an

=2，n≥2，∵

a2

a1

=1，
∴数列{a_n}从第二项起是首项为

1

2

，公比为2的等比数列，
∴a_n=

1 2 ，n=1 2n-1，n≥2

，
∴Sn=an+1=2n-2．

（Ⅱ）由S_n=2^n-2，得b_n=log₂S_n=n-2，
∵c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）•2^b_n=1+n（n+1）（n+2）•2^n-2，
c_n=

1

(n+1)(n+2)

+n•2^n-2，
∴T_n=

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n+1)(n+2)

+1×2^-1+2×2⁰+3×2+…+n•2^n-2，
令A=

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n+1)(n+2)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，
令B=1×2^-1+2×2+3×2¹+4×2²+…+（n-1）•2^n-1
2B=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，
-B=2^-1+2⁰+2+2²+…+2^n-2-n•2^n-1，
B=（n-1）•2n-1+

1

2

，
∴T_n=

1

2

-

1

n+2

+(n-1)•2n-1+

1

2

=

n+1

n+2

+(n-1)•2n-1，
当n＞1时，

2

n-1

Tn＜2ⁿ+

n+1

5

，即2n+

2(n+1)

(n-1)(n+2)

＜2n+

n+1

5

，
∴n²+n-12＞0，（n+4）（n-3）＞0，n＞3，
∴当n＞1时，使

2

n-1

Tn＜2n+

n+1

5

成立的最小正整数n的值为n=4．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查不等式的求法，解题时要认真审题，注意分组求和法、裂项求和法、构造法的合理运用．