Question

已知函数f(x)＝x³－ax²－3x.

(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)若x＝－是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在[1，a]上的最大值；

(3)设函数g(x)＝f(x)－bx，在(2)的条件下，若函数g(x)恰有3个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

解析　(1)f′(x)＝3x²－2ax－3，

∵f(x)在[1，＋∞)是增函数，

∴f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即

3x²－2ax－3≥0在[1，＋∞)上恒成立．

则必有≤1，且f′(1)＝－2a≥0.

∴a≤0.

(2)依题意，f′(－)＝0，

即＋a－3＝0，∴a＝4.

∴f(x)＝x³－4x²－3x.

令f′(x)＝3x²－8x－3＝0，

得x₁＝－，x₂＝3.

则当x变化时，f′(x)与f(x)变化情况如下表

x	1	(1,3)	3	(3,4)	4
f′(x)		－	0	＋
f(x)	－6		－18		－12

∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)＝－6.

(3)函数g(x)有3个零点⇔方程f(x)－bx＝0有3个不相等的实根．

即方程x³－4x²－3x＝bx有3个不等实根．

∵x＝0是其中一个根，

∴只需满足方程x²－4x－3－b＝0有两个非零不等实根．

∴

∴b>－7且b≠－3.

故实数b的取值范围是b>－7且b≠－3.