Question

9．已知f（x）=cos²（ωx+φ）-$\frac{1}{2}$（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，且f（$\frac{π}{8}$）=$\frac{1}{4}$．
（1）求ω和φ的值；
（2）若函数f（x）-m=0在区间[$\frac{π}{24}$，$\frac{13π}{24}$]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）为余弦型函数，利用f（x）的最小正周期求出ω，再根据f（$\frac{π}{8}$）的值求出φ；
（2）求出函数f（x）在区间[$\frac{π}{24}$，$\frac{13π}{24}$]的最值，即可得出m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=cos²（ωx+φ）-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$[1+cos（2ωx+2φ）]-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$cos（2ωx+2φ），…（2分）
∵f（x）的最小正周期为π，
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1；…（4分）
又f（$\frac{π}{8}$）=$\frac{1}{4}$，∴cos（$\frac{x}{4}$+2φ）=$\frac{1}{2}$（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$+2φ＜$\frac{5π}{4}$，
∴$\frac{π}{4}$+2φ=$\frac{π}{3}$，解得φ=$\frac{π}{24}$；…（7分）
（2）设函数f（x）-m=0在区间[$\frac{π}{24}$，$\frac{13π}{24}$]的解为x₀，
则m=f（x₀）；…（8分）
由（1）知f（x₀）=$\frac{1}{2}$cos（2x₀+$\frac{π}{12}$），
∵$\frac{π}{24}$≤x₀≤$\frac{13π}{24}$，
∴$\frac{π}{6}$≤2x₀+$\frac{π}{12}$≤$\frac{7π}{6}$，…（10分）
∴-1≤cos（2x₀+$\frac{π}{12}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即-$\frac{1}{2}$≤f（x₀）≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故m的取值范围为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．…（12分）

点评 本题考查了三角函数的化简与求值问题，也考查了三角函数在某一闭区间上的最值问题，是综合性题目．