Question

给出下列四个命题，其中正确命题序号是

 

．
①若b²=ac，则b是a，c的等比中项．
②数列{a_n}既是等差数列，又是等比数列，则{a_n}是常数列．
③若数列{a_n}的前n项和Sn=2×3n-2，则{a_n}是等比数列．
④若a，b，c成等比数列，则lga，lgb，lgc成等差数列．

Answer 1

分析：逐个验证：①举反例a=b=c=0；④举反例a=-1，b=-2，c=-4，②设等差数列{a_n}的公差为d，又{a_n}为等比数列，故（a₁+d）²=a₁（a₁+2d），解得d=0，可得数列为常数列；③由a_n与S_n的关系可得a_n=4×3^n-1，由等比数列的定义可得．

解答：解：逐个验证：①取a=b=c=0，显然满足b²=ac，但不满足b是a，c的等比中项，故错误；
②设等差数列{a_n}的公差为d，又{a_n}为等比数列，故（a₁+d）²=a₁（a₁+2d），解得d=0，故{a_n}是常数列，正确；
③当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2×3ⁿ-2）-（2×3^n-1-2）=4×3^n-1，当n=1时，a₁=S1=2×31-2=4，显然也满足，
故a_n=4×3^n-1，满足

an+1

an

=

4×3n

4×3n-1

=3，故{a_n}是等比数列，正确；
④不妨取a=-1，b=-2，c=-4，显然满足a，b，c成等比数列，不满足lga，lgb，lgc成等差数列，故错误．
故答案为：②③

点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，属基础题．