Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3+(a+d)x2+(a+2d)x+d，g（x）=ax²+2（a+2d）x+a+4d，其中a＞0，d＞0，设x₀为f（x）的极小值点，x₁为g（x）的极值点，g（x₂）=g（x₃）=0，并且x₂＜x₃，将点（x₀，f（x₀）），（x₁，g（x₁），（x₂，0）（x₃，0）依次记为A，B，C，D．
（1）求x₀的值；
（2）若四边形APCD为梯形且面积为1，求a，d的值．

Answer 1

（1）f′（x）=ax²+2（a+d）x+a+2d=（x+1）（ax+a+2d），
令f′（x）=0，
由a≠0得x=-1或x=-1-

2d

a

∵a＞0，d＞0．
∴-1-

2d

a

＜-1
当-1-

2d

a

＜x＜-1时，f′（x）＜0，
当x＞-1时f′（x）＞0，
所以f（x）在x=-1处取极小值，即x₀=-1
（2）g（x）=ax²+（2a+4d）x+a+4d
∵a＞0，x∈R
∴g（x）在x=-

2a+4d

2a

=-1-

2d

a

处取得极小值，即x1=-1-

2d

a

由g（x）=0，即（ax+a+4d）（x+1）=0
∵a＞0，d＞0，x₂＜x₃
∴x2=-1-

4d

a

，x1=-1
∵f(x0) =f(-1)=-

1

3

a
g(x1) =g(-1-

2d

a

) =-

4d2

a

∴A(-1，-

1

3

a)，B(-1-

2d

a

，-

4d2

a

)，C(-1-

4d

a

，0)，D（-1，0）
由四边形ABCD是梯形及BC与AD不平行，得AB∥CD．
-

a

3

=-

4d2

a

即a²=12d²
由四边形ABCD的面积为1，得

1

2

(|AB|+|CD|)•|AD|=1
即

1

2

(

4d

a

+

2d

a

) • 

a

3

=1得d=1，
从而a²=12得a=2

3

，d=1